Download PDF by Paulo Ribenboim (auth.): Die Welt der Primzahlen: Geheimnisse und Rekorde

By Paulo Ribenboim (auth.)

ISBN-10: 3642180787

ISBN-13: 9783642180781

Die Welt der Primzahlen - in faszinierender Weise werden die wesentlichen Ergebnisse über die elementaren Bausteine der natürlichen Zahlen vorgestellt. Grundlegende Sätze und die wichtigsten offenen Fragen und ungelösten Probleme werden von einer wohl einmaligen Sammlung von Rekorden über Primzahlen begleitet. Ein umfangreiches Literaturverzeichnis ergänzt das Buch zu einer wichtigen Quelle für jeden Leser, der sich für die Zahlentheorie und insbesondere für Primzahlen interessiert. In der englischen Originalfassung speedy schon ein Klassiker, erscheint die deutsche Ausgabe jetzt in zweiter, grundlegend überarbeiteter und aktualisierter Auflage.

Paulo Ribenboim ist emeritierter Professor der kanadischen Queen's college, Fellow der Royal Society of Canada und Träger des George Pólya-Preises der Mathematical organization of the United States. Er ist Autor von thirteen Büchern und über one hundred fifty Forschungsartikeln.

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Schinzel zeigte auch: Wenn ab = ch mit h ≥ 3, oder h = 2 und k(c) ungerade, dann gibt es unendlich viele n derart, dass der primitive Teil von an − bn mindestens drei Primfaktoren besitzt. F¨ ur die Binomialzahlen an +bn folgt die Zerlegbarkeit des primitiven Teils unmittelbar, sobald n > 10 und n/ek(ab) ungerade ist. Man beachte nur, dass jeder primitive Primfaktor von a2n − b2n auch ein primitiver Primfaktor von an + bn ist. Hier einige Fragen, die sehr schwer zu beantworten sind: Gibt es unendlich viele n derart, dass der primitive Teil von an − bn prim ist?

Die Menge der zerlegbaren Zahlen aus W2 enth¨alt die Quadrate der Wolstenholme-Primzahlen. McIntosh vermutete sogar, dass beide Mengen u ¨bereinstimmen, und verifizierte dies bis 109 : Das einzige zerlegbare n ∈ W2 mit n < 109 ist n = 283686649 = 168432 . McIntosh vermutete zudem, dass es unendlich viele WolstenholmePrimzahlen gibt und man geht heute davon aus, dass diese Vermutung richtig ist. Ein Beweis daf¨ ur d¨ urfte aber sehr schwierig sein. D Primzahlpotenzen als Teiler der Fakult¨ at einer Zahl Im Jahre 1808 bestimmte Legendre den genauen Exponenten der Potenz pm einer Primzahl p, die eine Fakult¨ at a!

Fr ), fi ≥ 0, eindeutig festgelegt ist. Aus pf1i ≤ pfi i ≤ m ≤ N = ptr ergibt sich f¨ ur i = 1, 2, . . , r, dass fi ≤ tE, wobei E = (log pr )/(log p1 ). Daher ist die Anzahl N (von ganzen Zahlen m, 1 ≤ m ≤ N ) h¨ochstens gleich der Anzahl von Folgen (f1 , f2 , . . , fr ), und somit ist ptr = N < (tE + 1)r < tr (E + 1)r . F¨ ur gen¨ ugend großes t wird diese Ungleichung unwahr, was zeigt, dass die Anzahl der Primzahlen ins Unendliche wachsen muss. 12 C 1. Wie viele Primzahlen gibt es? Beweis von M´ etrod Der Beweis von M´etrod aus dem Jahre 1917 ist ebenfalls sehr einfach.

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by Daniel
4.2

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