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By N. Bourbaki

ISBN-10: 3540344977

ISBN-13: 9783540344971

Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements.

Ce livre est le cinquième du traité ; il est consacré aux bases de l examine fonctionnelle. Il contient en particulier le théorème de Hahn-Banach et le théorème de Banach-Steinhaus. Il comprend les chapitres: -1. Espaces vectoriels topologiques sur un corps worth; -2. Ensembles convexes et espaces localement convexes; -3. Espaces d purposes linéaires maintains; -4. l. a. dualité dans les espaces vectoriels topologiques; -5. Espaces hilbertiens (théorie élémentaire).

Il contient également des notes historiques.

Ce quantity a été publié en 1981.

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128)appartient à A. l , p -) de N, et où hi > O pour tout indice i ;la proposition est triviale pourp = 1 ; P- 1 P - l hi démontrons-la par récurrence sur p. v + ( 1 i= 1 E i=l C1 A. Comme on a hp = 1 - p et P - p) x,, le point 1 hixi appartient à A d'après la déf. 1. i=l PROPOSITION 2. - Soient E et F deux espaces affines, f une application linéaire affine de E dans F ; I'image par f de toute partie convexe de E et I'image réciproque par f de route partie convexe de F sont des ensembles convexes.

Strictement convexe) si, quels que soient x, y distincts dans X et le nombre réel h tel que O < h < 1, on a : (resp. EVT 11. 18 92 ESPACES LOCALEMENT CONVEXES Lorsque E = R, cette définition des fonctions convexes n'est autre que celle de FVR, 1, p. 32. En outre, pour que f soit convexe (resp. strictement convexe) dans X, il faut et il suffit que pour toute droite affine D c E, la restriction de f à X n D soit convexe (resp. strictement convexe) dans X n D. Exemples. - Pour toute fonction linéaire affine f sur E, f et f sont des fonctions convexes dans E ; c'est évident pour f , puisque d'autre part, si l'on pose cc haZ + (1 - h) = f (x), P2 - (Ra B = f (y), + (1 - h) on a : $)2 = h(l - h) (a - fi)= 2 O pour O < h < 1 ; on voit ainsi en outre que la restriction de f a une droite affine D c E est strictement convexe si f ID n'est pas constante.

Si les p, sont des ultra-semi-normes, il en est de même des p, of;. Soit E un espace vectoriel sur K, muni d'une topologie F définie par une famille de semi-normes (p,),,, ; pour tout i E 1 , soit F , la topologie définie par la seule seminorme pl, et notons El l'espace obtenu en munissant E de pl. Alors la topologie Y est l'image réciproque par l'application diagonale A : E + El de la topologie produit sur n n IEI El (1, p. 9, prop. 7). Pour tout 1E 1, désignons par N, l'adhérence tel de O dans E,, par F, = El/N, l'espace normé défini par la norme 5 , correspondant a p, ( I I , p.

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Éléments de Mathématique: Bourbaki, Nicolas : Espaces vectoriels topologiques: Chapitres 1a 5 by N. Bourbaki


by Paul
4.1

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